Đại số tuyến tính Ví dụ

$x + 2 y = 3$ , $2 x + k y = 2$

Bước 1

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 & 3 \\ y & 2 & 0 & 2 \end{array}]$

Bước 2

Tìm dạng ma trận hàng bậc thang rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Swap $R_{2}$ with $R_{1}$ to put a nonzero entry at $1, 1$ .

$[\begin{array}{c} y & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Bước 2.2

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{y}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{y}{y} & \frac{2}{y} & \frac{0}{y} & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Bước 2.2.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{y} & 0 & \frac{2}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Bước 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{y} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{y} \cdot 0 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{y} \cdot 2 & \frac{2}{y} - \frac{2}{y} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Bước 2.3.2

Rút gọn $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{4}{y} & - \frac{4}{y} \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}]$

Bước 3

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$k - \frac{4 y}{y} = - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Bước 4

Giải phương trình để tìm $k$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Cộng $\frac{4}{y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Bước 4.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$k - \frac{4 y}{y} + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Bước 4.1.2.1.2

Chia $4$ cho $1$ .

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 1 \cdot 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Bước 4.1.2.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

$k - 4 + \frac{4}{y} = 0$

$x + 2 y = 3$

Bước 4.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $k$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$k + \frac{4}{y} = 4$

$x + 2 y = 3$

Bước 4.2.2

Trừ $\frac{4}{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

$x + 2 y = 3$

Bước 5

Trừ $2 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = 3 - 2 y$

$k = 4 - \frac{4}{y}$

Bước 6

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự và làm cho hệ phương trình đúng.

$(4 - \frac{4}{y}, 3 - 2 y, y)$

Bước 7

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} k \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 - \frac{4}{y} \\ 3 - 2 y \\ y \end{array}]$